Exercices analyse mathématique S1 avec corrigé - licence éco gestion

Exercices et TD d’analyse mathématique S1 avec corrigé pour les étudiants de licence économie gestion au semestre 1, cet ensemble des exercices avec correction permet aux étudiants de pratiquer leur connaissance collectées aux cours et résumé d’analyse mathématique pour réussir leur examen d'analyse mathématique.

Analyse mathématique : Exercices et TD avec correction pour les étudiants de semestre 1 licence économie gestion

L'analyse mathématique est une matière étudiée au semestre 1 licence économie et gestion, il permet aux étudiants d'acquérir les notions et les bases nécessaires pour comprendre les concepts nécessaires en analyse mathématique.

Et pour bien préparer ce module d'analyse mathématique s1, nous mettons pour vous cet ensemble d'exercices et de TD avec correction pour aider à consolider vos connaissances et à développer vos compétences en analyse mathématique et bien sûr pour préparer aux examens et aux concours.

TD n°1

Partie 1 : La Continuité
Exercice 1 :

Déterminer le domaine de définition et les limites infinies d la fonctions suivante :

                     f(x) = 2x + 1 + √(x²+x-2) 

Exercice 2 :

Déterminer mes domaines de définition er les domaines de continuité pour la fonctions définie par :
f(x) = x/(x²-1)

Exercice 3 :

Etudier la continuité des fonctions suivantes :
A. f(x) = √(2-x) si x ≤ 1
           = (x-1)/(2(√(x) -1)) si x > 1
B. f(x) = (x3 - x² +x -1)/(x-1) si x < 1
           =  √(3+x) si x ≥ 1
C. f(x) = (x² - x - 3 + √3)/(x²-3) si  x ≠ √3
           = 4 si x = √3
D. f(x) = (√(x-1) -1)/(x-2) si x ≠ 1
           = 1 si x = 2

Partie 2 : La Dérivabilité
Exercice 1 :

Calculez Y' pour chacune des fonctions suivantes :

• Y = 1/2x²  - 4/√x
• Y = [(x/1)+x]5

Exercie 2 :

Soit f(x) = ln(x+ √(x² - 1)

1) Calculez le dérive de f

2) Déterminez la fonction propre de f et calculer la dérivé.

Exercice 3 :

Calculez la drivée de la fonction suivante

f(x) = [cos(2x) -cos(x)]/ sin²(x) 

Partie 3 - Régle de l'hopital et la formule de Taylor 
Exercice 1 : 

Calculer les limites suivantes :

A. lim x→3 (√(x + 1)  -2 )/(x-3)

B. lim x→+∞ (x + logx )/(x logx)

C. lim x→+∞ (x loga - alogx )/(x - a) oû a>^0

D. lim x→+∞ (logx / xa)

E. lim x→∞ (xa / ex)

F. lim x→0(+) (x2 logx)

G. lim x→0 (ex - 1)/x

H. lim x→+∞ (1 + a/x)xa

Correction TD n°1

Partie 1 : La Continuité
Exercice 1 :

 f(x) = 2x + 1 + √(x²+x-2)
Df = (x∈ R) x² +x - 2 ≥ 0
                    x² +x -2 = 0
Δ = (-1)² - 4(1)(-2) = 0 ⇒ Δ = 9
x1 = (-1-3)/2 = -2  et  x2 = (-1 + 3)/2 = 1
Df = ]-∞, -2 ]∪[1, +∞[
lim x→+∞ f(x) = +∞ car lim x→+∞ 2x + 1 = +∞ et lim x→+∞ x² + x - 2 = +∞
lim x→-∞ f(x) = lim x→-∞ 2x + 1 + √x²(1+1/x -2/x²)
                    = lim x→-∞ 2x + 1 + ।x।√(1+1/x -2/x²)
                    = lim x→-∞ x(2 + 1/x - √(1+1/x -2/x²))
                    = -∞
car :   lim x→-∞ x = -∞ et lim x→-∞ (2 + 1/x - √(1+1/x -2/x²) = 1

Exercice 2 :

f(x) = x/(x²-1)
Df = {x∈ R / x² - 1 ≠ 0}
Df = {x∈ R / x ≠ -1 ou x ≠ 1}
Df = R-{-1,1}
Dc = R-{-1,1} 

Exercice 3 :

A. f(x) = √(2-x) si x ≤ 1
           = (x-1)/(2(√(x) -1)) si x > 1
si x = 1 ; f(1) = 1
Pour x ≤ 1 : lim x→1(-) f(x) = lim x→1(-) √(2-x) = 1 = f(1)
Pour x > 1 : lim x→1(+) f(x) = lim x→1(+) (x-1)/(2(√(x) -1)) 
                                           = lim x→1(+) [(x-1)(√(x) +1)]/[(2(√(x) -1)(√(x) +1)]
                                           = lim x→1(+) [(x-1)(√(x) +1)]/[(2(x-1)]
                                           = lim x→1(+) [(√(x) +1)]/[2]
                                           = (1+1)/2
                                           = 1
                                           = f(1)
f est continue au point 1.

B. f(x) = (x3 - x² +x -1)/(x-1) si x < 1
           =  √(3+x) si x ≥ 1
Pour x < 1 : lim x→1(-) f(x) = lim x→1(-) (x3 - x² +x -1)/(x-1) 
                                          = lim x→1(-) x²(x -1)+(x-1)/(x-1)
                                          = lim x→1(-) (x -1)+(x²+1)/(x-1)
                                          = lim x→1(-) (x²+1)
                                          = 2
                                          = f(1)
Pour x ≥ 1 : lim x→1(+) f(x) = lim x→1(+) √(3+x)
                                          = √(3+1)
                                          = 2
                                          = f(1)
f est continue au point 1.

C. f(x) = (x² - x - 3 + √3)/(x²-3) si x ≠ √3
           = 4 si x = √3
Pour x ≠ √3 : f(x) = (x² - x - 3 + √3)/(x²-3) = [(x+ √x)-1]-/[x +√x]
                     lim x→√3 [(x+ √x)-1]-/[x +√x] = (2√3 -1)-/(2√3) ≠ f(√3)
lim x→√3(+) [(x+ √3)-1]-/[x +√3] = -∞[(-√3+ √3)-1]-/[-√3 +√3] = -1/0(+)
lim x→√3(-) [(x+ √3)-1]-/[x +√3] = -∞[(-√3+ √3)-1]-/[-√3 +√3] = -1/0(-)
f est continue sur R-{-√3, √3}
f est discontinue de 1ére espèce non éliminable au point √3
f admet une discontinue de second espèce non infinie au point -√3

D. f(x) = (√(x-1) -1)/(x-2) si x ≠ 1
           = 1 si x = 2
Df = ]1, 2 ]∪[2, +∞[∪{2} =[1, +∞[
Pour x ≠ 1 :  f(x) = (√(x-1) -1)/(x-2) = (√(x-1) -1)(√(x-1) +1)/(x-2)(√(x-1) +1) 
                            = (x-2)/(x-2)(√(x-1) +1)
                            = 1/(√(x-1) +1)
lim x→2 f(x) = lim x→2 1/(√(x-1) +1) = 1/2 ≠ f(2)
f est continue sur ]1, 2 ]∪[2, +∞[
f est discontinue de 1ére espèce éliminable au point 2
f admet un discontinuité de 1ére espèce éliminable au point 2.

Partie 2 : La Dérivabilité
Exercice 1 :

Y = 1/2x²  - 4/√x   (f/g)' = (f'g - fg')/g²

Y' = [(1'(2x²) - (1)(2x²)') / (2x²)² ] + [((4)'(√x) - 4(√x)')/(√x)²)]

    = -4x/4x4  -  4/2√x/√x² = -1/x3 - 2/√x²

    = -1/x3 - 2/x1/2

Y = [(x/1)+x]5

Y = 5(x/(1+x))4. (x)'(1+x)-(x)(1+x)'/(1+x)²

   = 5x4/(1+x)4 . 1 + x - x/(1+x)²

   = 5x4/(1+x)6

Exercie 2 :

1) Calculez le dérive de f

f'(x) = (ln(x+ √(x² - 1))' = ((x+ √(x² - 1))' / (x+ √(x² - 1)) 

        = [1 +1/2. 2x/√(x² - 1)] / [x + √(x² - 1)]

        = [√(x² - 1) + x / √(x² - 1)] / [x + √(x² - 1)]

        = 1/√(x² - 1)

2) Déterminez la fonction propre de f et calculer la dérivé.

⇒ y = f(x) ⇔ x = f-1(y)

    y = ln((x+ √(x² - 1)) ⇒ ey  = x+ √(x² - 1)

    e-y  = 1/(x+ √(x² - 1)) ⇒ ey + e-y = x+ √(x² - 1) + 1/(x+ √(x² - 1))

         = [((x+ √(x² - 1))² +1] / [(x+ √(x² - 1)]

         = [x² + 2x(√(x² - 1)) + x² -1 + 1] / [x² + √(x² - 1)]

         = [2x² + 2x(√(x² - 1))] / [x + (√(x² - 1)]

         = [2x(x + (√(x² - 1))] / [x + (√(x² - 1)]

         = 2x

⇒ x =  (ey + e-y)/ 2 = f-1(y)

La fonction réciproque de f(x) = ln(x+ √(x² - 1) est f-1(x) = (ey + e-y)/ 2

(f-1)'(x) = (ey + e-y)/ 2 = (x)' = 1

Exercice 3 :

f(x) = [cos(2x) -cos(x)]/ sin²(x) 

      = cos²(x) - sin²(x) - cos(x) / sin²(x) 

      = (cos(x)/sin(x))² - 1 - cos(x)/sin²(x)

f'(x)= [-2(1 + tan²(x))(tan(x))]/[tan²(x)] - [cos(x)/sin²(x)]

      = [(-2(1+tan²(x)) / tan3(x)] + [(sin3(x) + 2cos2(x)sin(x)) / sin4(x)]

      = -2[1/tan²(x) + 1/tan(x)] + [1/sin(x) +2cos²(x)/sin3(x)]

Partie 3 - Régle de l'hopital et la formule de Taylor 
Exercice 1 :

A. lim x→3 (√(x - 1)  -2 )/(x-3)

Sans l'aide dde la régle de l'hopital :

lim x→3 (√(x + 1)  -2 )/(x-3) = lim x→3 ((√(x + 1)  -2 )(√(x + 1)  +2 ))/((x-3)(√(x + 1)  +2 ))

                                            = lim x→3 (x + 1 - 4)/((x-3)(√(x + 1)  +2 ))

                                            = lim x→3  1 /(√(x + 1)  +2 )

                                            = 1/4

Avec la régle de l'Hospital :

lim x→3 ((√(x + 1)  -2 )/(x-3))'  = 0/0 ( forme indéterminée de type 0/0)

il vient que : 

lim x→3 ((√(x + 1)  -2 )/(x-3))' = lim x→3 (√(x + 1)  -2 )'/(x-3)'

                                               = lim x→3 (1/2√(x + 1)  -2 )/1 

                                               = 1/4

B. lim x→+∞ (x + logx )/(x logx)

   lim x→+∞ (x + logx )/(x logx) = lim x→+∞ (x + logx )'/(x logx)'

                                                = lim x→+∞ (1 + 1/x )/(x' logx + x log'x)

                                                = lim x→+∞ (1 +1/x)/(logx + 1 )

                                                = 1/+∞

                                                = 0

(lim x→+∞ logx = +∞ et lim x→+∞ 1/x = 0)

C. lim x→+∞ (xloga - alogx )/(x - a) 

    lim x→+∞ (x loga - alogx )/(x - a) = 0/0 = lim x→+∞ (xloga - alogx )'/(x - a)'

                                                       = lim x→+∞ (x'loga - a'logx - alog'x )'/(1 - 0)'

                                                       = lim x→+∞ (loga - a/x )'/(1)'

                                                       = loga - 1

E. lim x→∞ (xa / ex)

   si a ≤ 0 : lim x→∞ (xa / ex) = 0

  si  a > 0 :  

       si a ≤ 1 : lim x→∞ (xa / ex) = ∞/∞ = lim x→∞ (xa)' / (ex)' = lim x→∞ (xa-1)' / (ex)' = 0

       si a > 1 : on applique la reglé de l'Hospital pour 2éme fois : 

                                       lim x→∞ (a² - a / ex) = 0 (si a ≤ 2)

  D'apres ces formuleson peut dire que ∀x∊ R et a > 0.

F. lim x→0(+) (x2 logx)

    lim x→0(+) (x2 logx) = lim x→0(+) (logx / (1/x²)) = ∞/∞

  On applique la régle de l'Hospital :

    lim x→0(+) (log'x / (1/x²)') = lim x→0(+) (1/x / (-2/x3))

                                           = lim x→0(+) (-x2/2)

                                           = 0

G. lim x→0 (ex - 1)/x

    lim x→0 (ex - 1)/x = 0/0

                              = lim x→0 2ex

 

                              = 2

TD n°2

Exercice 1

Etudier l’existence des limite suivante 
limx→0 cos 1 x
limx→0 x cos (1/ x)
limx→+∞ [√ x + √( x − 1)]/ √ (x − 1)
limx→0 [sin(x) − sin(5x)] / [sin(x) + sin(5x)]

Exercice 2

Etuder les fonctions suivantes , sont prolongeables par continuité à R tout entier ou non : 

(a) f(x) = cos(x) cos(1/x) si x ≠ 0. 

(b) f(x) = sin(x) sins(1/x) si x ≠ 0. 

(c) f(x) = cos(x + 1) ln |1 + x| si x ≠ −1.

Exercice 3

Soit f : R → R la fonction définie par 

f(x) = x3 sin(1/x), x ≠ 0

      = 0,     x = 0. 

(a) Montrer que f est continue sur R. 

(b) Montrer que f est dérivable sur R et calculer f 0 (x) pour tout x ∈ R. 

(c) Est ce que la fonction f est de classe C 1 sur R ? Justifier votre réponse.

Exercice 4

Les fonctions suivantes sont-elles dérivables en 0 ?

f(x) = x / (1 + |x|),

g(x) = x sin(x) sin(1/x), x ≠ 0

= 0, x = 0.

Exercice 5

Soit f[1, +∞[→ R définie par f(x) = x + x log(x). 

(a) Montrer que f est une bijection de [1, +∞[ sur [1, +∞[ 

(b) Montrer que f −1 est dérivable sur [1, +∞[ et que :

(f −1 ) 0 (x) = 1 2 + log(f −1 (x)), ∀ x ≥ 1.

Exercice 6

Soit f : [0, +∞[→ R la fonction d´efinie par : 

f(x) = x3 ln(x), x ≠ 0

=  0, x = 0

(a) Montrer que f est de classe C 1 et C 2 sur [0, +∞[. 

(b) Est ce que la fonction f est de classe C 3 sur [0, +∞[ ? Justifier votre réponse.

Exercice 7

Soit f une fonction continue sur [0, 1] , dérivable sur [0, 1[ telle que f 0 (0) = f(1) et f(0) = 0. On définit une fonction g : [0, 1] → R par 

g(x) =  f(x)/x , x ≠ 0

     = f(1), x = 0. 

(a) Vérifier que la fonction g satisfait les conditions du théorème de Rolle 

(b) Montrer qu’il existe c ∈]0, 1[ tel que 

f’(c) = f(c)/c

Exercice 8

Soit f : [0, π 2 [ → R la fonction définie par f(x) = − cos(x)ex. 

(a) Chercher les points critiques de f. 

(b) Rechercher les extremums de f.

TD n°3 : Fonctions numériques

Ce TD contient des exercices et des questions QCM qui évaluent vos connaissances en fonctions numérique d’une variable réelle.

Exercice 1

Etudier l’existence des limite suivante
limx→0 cos 1 x
limx→0 x cos (1/ x)
limx→+∞ [√ x + √( x − 1)]/ √ (x − 1)
limx→0 [sin(x) − sin(5x)] / [sin(x) + sin(5x)]

Exercice 2

Etuder les fonctions suivantes , sont prolongeables par continuité à R tout entier ou non : 

(a) f(x) = cos(x) cos(1/x) si x ≠ 0. 

(b) f(x) = sin(x) sins(1/x) si x ≠ 0. 

(c) f(x) = cos(x + 1) ln |1 + x| si x ≠ −1.

Exercice 3

Soit f : R → R la fonction définie par 

f(x) = x3 sin(1/x), x ≠ 0

      = 0,     x = 0. 

(a) Montrer que f est continue sur R. 

(b) Montrer que f est dérivable sur R et calculer f 0 (x) pour tout x ∈ R. 

(c) Est ce que la fonction f est de classe C 1 sur R ? Justifier votre réponse.

Exercice 4

Les fonctions suivantes sont-elles dérivables en 0 ?

f(x) = x / (1 + |x|),

g(x) = x sin(x) sin(1/x), x ≠ 0

= 0, x = 0.

Exercice 5

Soit f[1, +∞[→ R définie par f(x) = x + x log(x). 

(a) Montrer que f est une bijection de [1, +∞[ sur [1, +∞[ 

(b) Montrer que f −1 est dérivable sur [1, +∞[ et que :

(f −1 ) 0 (x) = 1 2 + log(f −1 (x)), ∀ x ≥ 1.

Exercice 6

Soit f : [0, +∞[→ R la fonction d´efinie par : 

f(x) = x3 ln(x), x ≠ 0

=  0, x = 0

(a) Montrer que f est de classe C 1 et C 2 sur [0, +∞[. 

(b) Est ce que la fonction f est de classe C 3 sur [0, +∞[ ? Justifier votre réponse.

Exercice 7

Soit f une fonction continue sur [0, 1] , dérivable sur [0, 1[ telle que f 0 (0) = f(1) et f(0) = 0. On définit une fonction g : [0, 1] → R par 

g(x) =  f(x)/x , x ≠ 0

     = f(1), x = 0. 

(a) Vérifier que la fonction g satisfait les conditions du théorème de Rolle 

(b) Montrer qu’il existe c ∈]0, 1[ tel que 

f’(c) = f(c)/c

Exercice 8

Soit f : [0, π 2 [ → R la fonction définie par f(x) = − cos(x)ex. 

(a) Chercher les points critiques de f. 

(b) Rechercher les extremums de f.

TD n°4 : Fonctions réelles de plusieurs variables

Ce TD contient 6 exercices qui évaluent vos connaissances en fonctions réelles de plusieurs variables.

Support de TD (pdf)

TD n°3 : Optimisation des fonctions à deux variables

Ce TD contient 4 exercices qui évaluent vos connaissances en fonctions réelles de plusieurs variables.

Support de TD (pdf)

Supports de module analyse mathématiques S1

• Résumé d'analyse mathématiques S1

• Cours d'analyse mathématiques S1

• Examens d'analyse mathématiques S1

Exercices semestre 1 licence économie gestion

• Exercices de statistique descriptive S1

• Exercices de management S1

• Exercices de langue et terminologie S1

• Exercices Management S1

• Exercices de microéconomie S1

• Exercices d'introduction à l'économie S1

• Exercices de comptabilité générale S1