Examens d'Algèbre avec corrigé L1 (S1) - Licence Sciences de la Matière

 

  9rytna il met a la dispositions de vous un examens d'algèbre avec corrigé pour les étudiants de la licence sciences de la matière L15S1) aux facultés des sciences, l'examens il trait la plupart des chapitre et partie de module d'algèbre de la licence sciences de la matière.

Examens d'Algèbre avec corrigé L1

Exercice 1

1. Les racines 4-ièmes de −i sont : 

z0 = ; z1 = ; z2 = ; z3 =

2. Les racines carrées du complexe ω = −8i sont :
ω1 = ; ω2 =
3. Les solutions de l’équation z2− 2iz − 1 + 2i = 0 sont :
z1 = z2 =

Exercice 2

Soit la fraction rationnelle F(X) = X9 / X6 − 1 . 
1. Determiner partie entière de F est :

E =

2. La factorisation de X6 − 1 dans C[X] est :
X6 − 1 =
3. La factorisation de X6 − 1 dans R[X] est :
X6 − 1 = 
4. La décomposition théorique de F en éléments simples dans C(X) est :
5. Après le calcul des coefficients, la décomposition en éléments simples de F dans C(X) est :
6. La décomposition théorique de F en éléments simples dans R(X) est 
7. Après le calcul des coefficients, la décomposition en éléments simples de F dans R(X) est :

Exercice 3

Soit la matrice réelle

1 -2 1

A =   -2 2 1

1 1 −2   
1. Le carré de la matrice A est :

A2
2. quel est le déterminant de la matrice A est ?

det(A) =
3. Pourquoi A est inversible ?
4. La co-matrice de la matrice A est :
com(A) =
5. La formule générale de calcul de l’inverse de la matrice A est donnée par : 
A-1 =
6. L’inverse de la matrice A est :
A-1 =

Exercice 4

Soit : Sm), où m est un paramètre réel. 

x − y + z = 0

(Sm)  :  mx − y + z = m − 1

x − y + (m + 1)z = m + 1

1. Les valeurs du paramètre m pour lesquelles (Sm) est un système de Cramer sont :

2. Lorsque m = −1, l’ensemble S des solutions du système (Sm) est :

S = 

3. Lorsque m = 0, l’ensemble S des solutions du système (Sm) est :

S =

4. Lorsque m = 1, l’ensemble S des solutions du système (Sm) est :

S =

Corrigé

Exercice 1

1. z0 = e−iπ8 ; z1 = ei3π8 ; z2 = ei7π8 ; z3 = ei11π8
2. ω1 = 2 − 2i ; ω2 = −2 + 2i
3. z1 = 1 ; z2 = −1 + 2i

Exercice 2

1. E = X3
2. X6 − 1 = X6 − 1 = (X − 1)(X + 1)(X − eiπ3 )(X − e−iπ3 )(X − ei2π3 )(X − e−i2π3 )
3. X6 − 1 = X6 − 1 = (X − 1)(X + 1)(X2 + X + 1)(X2 − X + 1)
4. La décomposition théorique de F en éléments simples dans C(X) est :
X3 +aX−1 +bX+1 +cX−eiπ3+dX−e−iπ3+eX−ei2π3+fX−e−2iπ
5. Après le calcul des coefficients, la décomposition en éléments simples de F dans C(X) est :
X3 +16(X−1) +16(X+1) −eiπ36(X−eiπ3 )−e−iπ36(X−e−iπ3 )−e−iπ36(X−ei2π3 )−eiπ36(X−e−i2π3 )
6. La décomposition théorique de F en éléments simples dans R(X) est :
X3 +aX−1 +bX+1 +cX+dX2+X+1 +eX+fX2−X+1
7. Après le calcul des coefficients, la décomposition en éléments simples de F dans R(X) est :
X3 +16X−1 +16X+1 +−16 X− 13X2+X+1 +−16 X+ 13X2−X+1

Exercice 3

Soit la matrice réelle
1 -2 1
A =   -2 2 1
1 1 −2   
1. Le carré de la matrice A est :
6 -5 -3
A2 =   -5 9 -2
-3 -2 6   
2. C'est quoi le déterminant de la matrice A ?
det(A) = -3
3. Pourquoi A est inversible ?
det(A) 6= 0
4. La co-matrice de la matrice A est :
-5 -3 -4
com(A) =   -3 -3 -3
-4 -3 −2 
5. La formule générale de calcul de l’inverse de la matrice A est donnée par : 
A-1 = 1/det(A)com(A)T
6. L’inverse de la matrice A est :
5/3 1 4/3
A-1 =   1 1 1
4/3 1 2/3 

Exercice 4

Soit (Sm) :

x − y + z = 0

(Sm)  :  mx − y + z = m − 1

x − y + (m + 1)z = m + 1

1. Les valeurs du paramètre m pour lesquelles (Sm) est un système de Cramer sont :

m ∈ R \ {0, 1}

2. Lorsque m = −1, l’ensemble S des solutions du système (Sm) est :

S = {(1, 1, 0)}

3. Lorsque m = 0, l’ensemble S des solutions du système (Sm) est :

S = ∅

4. Lorsque m = 1, l’ensemble S des solutions du système (Sm) est :

S = {(x, x + 2, 2)/x ∈ R}