Examen d'analyse mathématique S1
Partie 1 : Questions de cours
Soient I une partie de R et f une fonction définie sur I.
1. On dit que 1 est segment si :
A. I est un intervalle fermé.
B. I est un intervalle fermé borné.
C. I est un intervalle ouvert.
2. Si f est définie sur un segment, alors :
A. f est bornée.
B. f est bornée et atteint ses bornes.
C. f n'est pas nécessairement bornée.
3. f réalise une bijection si :
A. f est continue et monotone.
B. f est continue et strictement monotone.
C. f est bornée et strictement monotone.
4. Supposons que f est strictement croissante et f^(-1) sa fonction réciproque, alors :
A. f^(-1) est continue.
B. f^(-1) est continue et décroissante.
C. f^(-1) est continue, croissante et bijective.
5. On obtient la courbe de f^(-1) à partir de la courbe de f :
A. par symétrie d'axe la droite y = x.
B. par symétrie d'axe la droite y = 1/x.
C. par symétrie d'axe la droite y = 0.
D. par symétrie d'axe les droites y = x et y = 0.
Partie 2 : Fonctions : limites, continuité, dérivabilité
Calculer les limites suivantes :
6. limite de x envers 0 de ln(1+x²) / sin²(x)
A. 1
B. 0
C. -1
7. Limite de x envers 0 de [(( 1+ x )^(1/2)) - ((1+ x²)^(1/2))] / x
A. 1/2
B. 1
C. -1
8. Limite de x envers 0 de [(e^(x)) - 1] / [1 - (e^(1/2))]
A. +∞
B. 2
C. -2
9. Limite de x envers 2 de ( x² - 4 ) / ( x² - 3x + 2 )
A. 1
B. 3
C. 4
On considéré la fonction f définie par :
f(x) = x - 1, x ⩽ 1 et 2 - mx², x > 1
10. Pour quelle valeur de m la fonction est-elle continue sur R.
A. m = 1
B. m = 2
C. m = -2
On considère la fonction f définie par :
f(x) = x²ln(x), x > 0 et 0, x = 0
11. Préciser la bonne réponse
A. f est dérivable en 0 et f'(0) = 0
B. f n'est pas dérivable en 0
C. f est dérivable en 0 et f'(0) = 1
Partie 3 : Développement limité
Donner le développement limité au voisinage de point 0 des fonctions suivantes à l'ordre indiqué :
12. 1/cos(x) à l'ordre 3
A. 1 + x²/2 + o(x3)
B. 1 + x3/3! + o(x3)
C. 1 + x²/2 + x3/3! o(x3)
13. (1+x)^(1/x) à l'ordre 2.
A. ((e - ex)/2) + ((11ex²)/24) + o(x²)
B. (1 - 0.5x) + ((11x²)/24) + o(x²)
C. ((e + ex)/2) + ((11ex²)/24) + o(x²)
14. 1/(1+x²) à l'ordre 5.
A. x² + (x4)/4! + (X5)/5! + o(x^5)
B. 1 - x² + (x4) + o(X5)
C. 1 - x²/2 + (x4) + o(X5)
15. arctan(x) à l'ordre 8.
A. x - (x3 / 3!) + (X5 / 5!) - (x^7 / 7!) + o(x^8)
B. x - (x² / 2) + (X5/ 5!) - (x^7 / 7!) + o(x^8)
C. x - (x3 / 3) + (X5 / 5) - (x^7 / 7) + o(x^8)
16. ln( 1+e^x) à l'ordre 3
A. ln(3) + x/2 + x²/8 + o(x3)
B. ln(2) + x/2 + x²/8 + o(x3)
C. ln(2) + x/2 + x²/2! + o(x3)
Partie 4 : Calcul intégral
Déterminer les primitives suivantes :
17. F : x → ∫ tan xdx
A. F(x) = ln(cos x) + C, C ∈ R
B. F(x) = -ln(cos x) + C, C ∈ R
C. F(x) = ln(sin x) + C, C ∈ R
18. G : x → ∫ cos(x) / 1 + sin²(x) xdx
A. G(x) = ln(1 + sin²(x)) + C, C ∈ R
B. G(x) = arctan(1 + sin²(x)) + C, C ∈ R
C. G(x) = arctan(sin²(x)) + C, C ∈ R
19. H : x → ∫ x/(x^4) + 4 xdx. indication : efectuer le changement de variable t = x²
A. H(x) = 0.25tan(x/2) + C, C ∈ R
B. H(x) = 0.25arctan(x/2) + C, C ∈ R
C. H(x) = 0.25arctan(x²/2) + C, C ∈ R
20. K : x → ∫ x3/√ 1+x² + 4 xdx
A. K(x) = [(1 + x²) ^(3/2)] - [2(1 + x²)^(3/2)] + C, C ∈ R
B. K(x) = [2/3(1 + x²) ^(3/2)] - [2(1 + x²)^(3/2)] + C, C ∈ R
C. K(x) = [1/3(1 + x²) ^(3/2)] - [(1 + x²)^(1/2)] + C, C ∈ R
21. I : x → ∫ dx / xln^3(x)
A. 0.5 ln^-2(x) + C, C ∈ R
B. -0.5 / 2ln²(x) + C, C ∈ R
C. -0.5 ln²(x) + C, C ∈ R
Partie 5 : Fonctions à plusieurs variables
soit f une fonction à deux variables définie par :
f(x,y) = x²y + y + 1 - y²/√ x + y
22. Déterminer le domaine de définition Df de la fonction f
A. Df = {(x,y) ∈R²\ x = y}
B. Df = {(x,y) ∈R²\ x > y}
C. Df = {(x,y) ∈R²\ x > -y}
23. Calculer le gradient de la fonction f noté ∇f (df/dx', df/dy)
A. ∇f (x,y) = (2xy + y²/2(√ x + y )^3, x² - [(xy + 3y²) / (√ x + y )^3] + 1)
B. ∇f (x,y) = (2xy + y²/2(√ x + y )^3, x² - [(4xy + 3y²) / 2(√ x + y )^3] + 1)
C. ∇f (x,y) = (2xy + y²/2(√ x + y )^3, x² - [(4xy + 3y²) / (√ x + y )^3] + 1)
Corrigé d'examen d'analyse mathématique S1
1. On dit que 1 est segment si :
A. I est un intervalle fermé.
B. I est un intervalle fermé borné.
C. I est un intervalle ouvert.
2. Si f est définie sur un segment, alors :
A. f est bornée.
B. f est bornée et atteint ses bornes.
C. f n'est pas nécessairement bornée.
3. f réalise une bijection si :
A. f est continue et monotone.
B. f est continue et strictement monotone.
C. f est bornée et strictement monotone.
4. Supposons que f est strictement croissante et f^(-1) sa fonction réciproque, alors :
A. f^(-1) est continue.
B. f^(-1) est continue et décroissante.
C. f^(-1) est continue, croissante et bijective.
5. On obtient la courbe de f^(-1) à partir de la courbe de f :
A. par symétrie d'axe la droite y = x.
B. par symétrie d'axe la droite y = 1/x.
C. par symétrie d'axe la droite y = 0.
D. par symétrie d'axe les droites y = x et y = 0.
6. limite de x envers 0 de ln(1+x²) / sin²(x)
A. 1
B. 0
C. -1
7. Limite de x envers 0 de [(( 1+ x )^(1/2)) - ((1+ x²)^(1/2))] / x
A. 1/2
B. 1
C. -1
8. Limite de x envers 0 de [(e^(x)) - 1] / [1 - (e^(1/2))]
A. +∞
B. 2
C. -2
9. Limite de x envers 2 de ( x² - 4 ) / ( x² - 3x + 2 )
A. 1
B. 3
C. 4
10. Pour quelle valeur de m la fonction est-elle continue sur R.
A. m = 1
B. m = 2
C. m = -2
11. Préciser la bonne réponse
A. f est dérivable en 0 et f'(0) = 0
B. f n'est pas dérivable en 0
C. f est dérivable en 0 et f'(0) = 1
12. 1/cos(x) à l'ordre 3
A. 1 + x²/2 + o(x3)
B. 1 + x3/3! + o(x3)
C. 1 + x²/2 + x3/3! o(x3)
13. (1+x)^(1/x) à l'ordre 2.
A. ((e - ex)/2) + ((11ex²)/24) + o(x²)
B. (1 - 0.5x) + ((11x²)/24) + o(x²)
C. ((e + ex)/2) + ((11ex²)/24) + o(x²)
14. 1/(1+x²) à l'ordre 5.
A. x² + (x4)/4! + (X5)/5! + o(x^5)
B. 1 - x² + (x4) + o(X5)
C. 1 - x²/2 + (x4) + o(X5)
15. Arctan(x) à l'ordre 8.
A. x - (x3 / 3!) + (X5 / 5!) - (x^7 / 7!) + o(x^8)
B. x - (x² / 2) + (X5/ 5!) - (x^7 / 7!) + o(x^8)
C. x - (x3 / 3) + (X5 / 5) - (x^7 / 7) + o(x^8)
16. ln( 1+e^x) à l'ordre 3
A. ln(3) + x/2 + x²/8 + o(x3)
B. ln(2) + x/2 + x²/8 + o(x3)
C. ln(2) + x/2 + x²/2! + o(x3)
17. F : x → ∫ tan xdx
A. F(x) = ln(cos x) + C, C ∈ R
B. F(x) = -ln(cos x) + C, C ∈ R
C. F(x) = ln(sin x) + C, C ∈ R
18. G : x → ∫ cos(x) / 1 + sin²(x) xdx
A. G(x) = ln(1 + sin²(x)) + C, C ∈ R
B. G(x) = arctan(1 + sin²(x)) + C, C ∈ R
C. G(x) = arctan(sin²(x)) + C, C ∈ R
19. H : x → ∫ x/(x^4) + 4 xdx. indication : efectuer le changement de variable t = x²
A. H(x) = 0.25tan(x/2) + C, C ∈ R
B. H(x) = 0.25arctan(x/2) + C, C ∈ R
C. H(x) = 0.25arctan(x²/2) + C, C ∈ R
20. K : x → ∫ x3/√ 1+x² + 4 xdx
A. K(x) = [(1 + x²) ^(3/2)] - [2(1 + x²)^(3/2)] + C, C ∈ R
B. K(x) = [2/3(1 + x²) ^(3/2)] - [2(1 + x²)^(3/2)] + C, C ∈ R
C. K(x) = [1/3(1 + x²) ^(3/2)] - [(1 + x²)^(1/2)] + C, C ∈ R
21. I : x → ∫ dx / xln^3(x)
A. 0.5 ln^-2(x) + C, C ∈ R
B. -0.5 / 2ln²(x) + C, C ∈ R
C. -0.5 ln²(x) + C, C ∈ R
22. Déterminer le domaine de définition Df de la fonction f
A. Df = {(x,y) ∈R²\ x = y}
B. Df = {(x,y) ∈R²\ x > y}
C. Df = {(x,y) ∈R²\ x > -y}
23. Calculer le gradient de la fonction f noté ∇f (df/dx', df/dy)
A. ∇f (x,y) = (2xy + y²/2(√ x + y )^3, x² - [(xy + 3y²) / (√ x + y )^3] + 1)
B. ∇f (x,y) = (2xy + y²/2(√ x + y )^3, x² - [(4xy + 3y²) / 2(√ x + y )^3] + 1)
C. ∇f (x,y) = (2xy + y²/2(√ x + y )^3, x² - [(4xy + 3y²) / (√ x + y )^3] + 1)
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